integrales multiples: junio 2013

Integrales Múltiples

Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, $f(x,y)$ ó $f(x,y,z)$ .

Integrales múltiples e Integrales iteradas

Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. Si la expresión

$\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$

se refiere a una integral iterada, la parte externa

$\int_a^b \cdots \, dx$

es la integral con respecto a x de la función de x:

$g(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy.$

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

$\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx \neq \int_c^d\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.$

De una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que

$\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)<\infty,$

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a la integral iterada.

$\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y)=\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy.$

Esto ocurre, cuando $f$ es una función acotada y tanto A como B son regiones acotadas también. Esto se entiende fácilmente pensando que si la función o la región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puede existir.

La notación

$\int_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)\,dx\,dy$

se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una iterada.

Métodos de integracion

Funciones constantes

En el caso de funciones constantes, el resultado es trivial: simplemente multiplíquese el valor de la función constante c por la medida del dominio de integración. Si c = 1, y es integrada a través de una región de R² esto da el área de la región, mientras que si es una región de R³ da el volumen de la región y así sucesivamente.

Por ejemplo:

$D = \{ (x,y)| \ 2 \le x \le 4 \ ; \ 3 \le y \le 6 \}$ y $f(x,y) = c\,\!$

Integrando f sobre D:

$\int_3^6 \int_2^4 \ c \ dx\, dy = c \cdot \mbox{area}(D) = c \cdot (3 \cdot 2) = c \cdot 6.$

Definición Integral triple

Es la aplicación sucesiva de tres procesos de integración definida simple a una función de tres variables f (x, y, z); tomando en consideración en función de que variable se encuentran los límites para saber cual diferencial (dx, dy, dz) se utilizará primero y cual después y cual al final.

Ejemplo.

Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

Coordenadas cilíndricas.

Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a el.

r = 4 Cilindro, radio 4, eje el eje z